一、基本形式（前向时间方向）

1. Flow（确定性流，ODE）

• 动力学：仅漂移，无随机项

  $$\color{#4a9eff} \mathrm{d}X_t = u_t(X_t)\,\mathrm{d}t.$$

• 密度演化:（Fokker–Planck）：$X_t \sim p_t$ 时

ELBO 与变分方法详解

一、动机：为什么需要 ELBO？

在隐变量生成模型中，观测 $x$ 由隐变量 $z$ 通过解码器 $p_\phi(x|z)$ 生成，先验为 $p(z)$。**边际似然（证据）**为：

• 理想：用最大似然估计（MLE）最大化 $\log p_\phi(x)$ 来学习解码器参数 $\phi$。
• 障碍：积分对 $z$ 在高维、非线性解码器下难以计算（intractable），直接 MLE 不可行。
• 变分思路：不直接算 $\log p_\phi(x)$，而是构造一个可计算的下界，通过最大化该下界间接增大 $\log p_\phi(x)$。这个下界就是 ELBO（Evidence Lower BOund，证据下界）。

二、变分方法核心：近似后验 $q(z|x)$

真实后验为：

SDE 与 ODE 公式总览

本文整理：Flow（ODE） 与 Diffusion（SDE） 的前向 / 反向动力学、密度演化方程，以及 SDE 与 ODE 的相互转换（保持相同边际分布 $p_t$）。约定：前向 = 数据 → 噪声/先验（$t$ 增加），反向 = 噪声/先验 → 数据（$t$ 减少或反向时间）。