graph LR;
    A[Flow Matching] --> B("条件概率\边际概率")
    A[Flow Matching] --> C("条件速度场\边际速度场")
    A[Flow Matching] --> D("速度调度器变换")
    A[Flow Matching] --> E("高斯路径下边际速度场的参数化(速度\x_0\x_1\score之间的转换)")
    A[Flow Matching] --> F("边际概率的计算(微分同胚\推前映射\变量替换)")
    A[Flow Matching] --> G("条件引导")

2 关键公式推导

2.1 联合概率密度与边际概率密度

• 随机向量 $X, Y$，联合PDF $p_{X,Y}(x,y)$ 满足边际化性质：
  • $p_X(x) = \int p_{X,Y}(x,y) dy$
  • $p_Y(y) = \int p_{X,Y}(x,y) dx$

2.2 条件概率密度与贝叶斯法则

• 条件 PDF 定义：$p_{X \mid Y}(x \mid y) = \frac{p_{X,Y}(x,y)}{p_Y(y)}$（要求 $p_Y(y) > 0$）

2.3 条件概率密度和边际概率密度

• z：样本数据，x：采样数据
• 条件概率路径：$p_{t|Z}(x|z)$（生成 $Z=z$ 时的条件路径）；
• 边际概率路径：$p_t(x) = \int p_{t|Z}(x|z) p_Z(z) dz$；

2.4 条件期望与全期望性质

• 条件期望 $\mathbb{E}[X \mid Y = y] = \int x p_{X \mid Y}(x \mid y) dx$，是“给定 $Y = y$ 时，最小二乘意义下最接近 $X$ 的函数”；
• 全期望性质（Tower Property）：$\mathbb{E}[\mathbb{E}[X \mid Y]] = \mathbb{E}[X]$——多层期望可简化为单层期望，是后续边际速度场推导的关键工具。

全期望性质： 记 $\mu(Y) = \mathbb{E}[X \mid Y]$（给定 $Y$ 时 $X$ 的条件期望），它是 $Y$ 的函数（随机变量）。

6. 连续时间马尔可夫链模型

核心思想：CTMC 是什么？

CTMC 是一种用于生成离散数据（比如文本、类别数据）的模型。你可以把它想象成一个在有限个离散状态之间随时间跳转的“粒子”，它按照一定的“速率”从一个状态跳到另一个状态。这与之前讨论的“流模型”（用于连续数据，如图像）形成对比，CTMC 是后续“离散流匹配”模型的基础。

DDPM：从条件贝叶斯到反向过程

目标：在给定 $x^{(t)}$ 时，得到反向条件分布 $p_\theta(x^{(t-1)} \mid x^{(t)})$，用于从噪声逐步去噪生成样本。下面按“贝叶斯形式 → 为何条件于 $x^{(0)}$ → 边际与条件之别 → 各分布特性”整理推理与结论。

一、前向过程

前向过程将数据 $x^{(0)} \sim p_\text{data}$ 逐步加噪，得到 $x^{(1)}, \ldots, x^{(T)}$，最终 $x^{(T)}$ 近似标准高斯。下面给出定义与单步转移、多步边际 $q(x^{(t)} \mid x^{(0)})$ 的闭式推导，以及重参数化形式。